Algebra lineare Esempi

$\frac{2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}}{4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Passaggio 1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 + \sqrt{6}})}{4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Passaggio 1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $2$ da $4 \sqrt{3 - \sqrt{6}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 + \sqrt{6}})}{2 (2 \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 (2 \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ per $\frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}} \cdot \frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Passaggio 3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ per $\frac{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}{\sqrt{3 - \sqrt{6}}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 \sqrt{3 - \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}$

Passaggio 3.2

Sposta $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 (\sqrt{3 - \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Passaggio 3.3

Eleva $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 ({\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1} \sqrt{3 - \sqrt{6}})}$

Passaggio 3.4

Eleva $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 ({\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1} {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1})}$

Passaggio 3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{2}}$

Passaggio 3.7

Riscrivi ${\sqrt{3 - \sqrt{6}}}^{2}$ come $3 - \sqrt{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 - \sqrt{6}}$ come ${(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {({(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 {(3 - \sqrt{6})}^{1}}$

Passaggio 3.7.5

Semplifica.

$\frac{\sqrt{3 + \sqrt{6}} \sqrt{3 - \sqrt{6}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{(3 + \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.2

Espandi $(3 + \sqrt{6}) (3 - \sqrt{6})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3 (3 - \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} (3 - \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{9 + 3 (- \sqrt{6}) + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 3 + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.3

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.4

Moltiplica $\sqrt{6} (- \sqrt{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1})}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{1 + 1}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{\frac{2}{2}}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6^{1}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 1 \cdot 6}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{9 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} - 6}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $6$ da $9$ .

$\frac{\sqrt{3 - 3 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.3

Somma $- 3 \sqrt{6}$ e $3 \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{3 + 0}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 4.3.4

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$ per $\frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})} \cdot \frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2 (3 - \sqrt{6})}$ per $\frac{3 + \sqrt{6}}{3 + \sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 (3 - \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6})}$

Passaggio 6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Sposta $3 - \sqrt{6}$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 ((3 - \sqrt{6}) (3 + \sqrt{6}))}$

Passaggio 6.2.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 (9 + 3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{6} - {\sqrt{6}}^{2})}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{6})}{6}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 6.4

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 6.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 6}}{6}$

Passaggio 7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{18}}{6}$

Passaggio 7.2

Riscrivi $18$ come $3^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $9$ da $18$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9 (2)}}{6}$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{6}$

Passaggio 7.3

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 8.2

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (\sqrt{2})}{6}$

Passaggio 8.3

Scomponi $3$ da $3 (\sqrt{3}) + 3 (\sqrt{2})$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{6}$

Passaggio 8.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 (2)}$

Passaggio 8.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}$

Forma decimale:

$1.57313218 \dots$